序言
每个小学生都知道什么是一个有理数的绝对值, 并且知道, 对千两个有理数 a 和 b, 绝对值 |a − b| 愈小, 这两个数的距离就愈近. 大多数人在一生中只使用这个绝对值, 以至于很少有人会想: 我们是否有衡量数的大小和相距远近的其他标准呢? 如果有的话, 这些别的标准对于人类实践活动和理性探究是否有益呢?
早在 1900 年前后, 德国数学家亨泽尔 (Hensel, 1861 —1941) 发现,存在着无穷多种本质上不同的标准来衡量有理数的大小和有理数间距离的远近, 而且这些标准非常有用. 这些标准来源于很古老的想法, 即正整数的 p 进位表示法. 我们现在表示数是采用十进制. 对于任意整数m ⩾ 2, 每个正整数均可表成 m 进制的形式. 事实上, 在古代的埃及、印度、中国和巴比伦, 人们曾经使用过六十进位制等记数方法. 目前在数字通信和计算机科学中广泛使用二进制. 亨泽尔在 20 世纪初发现, 对每个素数 p, 用数的 p 进展开可以做出有理数的新的 “绝对值”, 并且对不同的素数 p, 这些绝对值彼此是衡量有理数大小和远近的完全不同的标准. 由于素数有无穷多个, 所以在有理数集合上有无穷多个不同的绝对值!
亨泽尔的 p 进绝对值最早用于数论研究. 后来, 它逐渐成为代数学、代数几何学以及数学许多其他分支的十分重要的基本工具. 最近, 一些数学物理学家试图用 p 进距离来解释物理中的一些量子化现象和秘密, 因为 p 进绝对值比通常的绝对值更具有量子化特征.
在这本书里, 我们打算通俗地讲述 p 进绝对值的基本知识和一些奇妙的性质, 也挑选一些方面来介绍 p 进绝对值的应用 (主要介绍在数论中的应用) 和其中体现的数学思想 (如局部一整体原则等). 大多数内容只需要中学数学知识, 有些地方需要一点抽象代数和分析中的知识 (如群、环、域基本概念, 连续函数, 函数的极限和黎曼积分等). 在需要这些知识的地方, 我们也尽量予以通俗的解释. 我们在书中常常把 p 进绝对值和通常的绝对值加以对比. 如果读者具有好的数学知识背景, 就可以更清楚地理解 p 进绝对值的特点以及它与通常绝对值的相似和相异之处.
我们把 p 进数介绍给大家, 不仅期望读者感到数学的新奇, 更希望在新奇之后, 把它变成和通常绝对值一样的家常便饭, 成为自己研究和解决问题的有效工具.
冯克勤
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p 进数
作者：冯克勤
书号：978-7-04-058745-6
定价：49.00 元
出版日期：2023年3月
内容简介
本书共分五章。第一章介绍有理数域的 p 进赋值，给出衡量有理数大小和距离的各种不同尺度。第二章讲述 p 进数域，这是有理数域对 p 进赋值的完备化域。介绍了在 p 进数域中解代数方程和多项式分解的“新奇”结果和 p 进分析的基本工具：亨泽尔引理和牛顿折线。第三章介绍用 p 进分析工具研究数论问题的一个精彩例子，即研究多元二次方程的有理数解的哈塞定理。第四章介绍 p 进数域上的各种连续函数：p 进的指数函数、对数函数、zeta 函数和 gamma 函数，以及它们的数论意义。最后一章介绍 p 进积分理论。此外，书中讲述了 p 进分析的用途，主要在数论研究中所起的作用，指出了在物理等其他学科的应用前景。
转自：高教学术”微信公众号
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